From Chaos to Randomness via Geometric Undersampling

We propose a new mechanism for undersampling chaotic numbers obtained by the ring coupling of one-dimensional maps. In the case of 2 coupled maps this mechanism allows the building of a PRNG which passes all NIST Test. This new geometric undersampling is very effective for generating 2 parallel streams of pseudo-random numbers, as we show, computing carefully their properties, up to sequences of 12 10 consecutives iterates of the ring coupled mapping which provides more than 10 3.35 10 × random numbers in very short time. Résumé. Nous proposons un nouveau mécanisme de sous-échantillonnage de nombres chaotiques obtenus par couplage en anneau de fonctions unidimensionnelles. Dans le cas de 2 fonctions couplées, ce mécanisme permet de construire un Générateur de Nombres PseudoAléatoires (GNPA) qui satisfait tous les tests NIST. Ce nouveau sous-échantillonnage géométrique est très efficace pour générer deux séries parallèles de nombres pseudo-aléatoires, comme nous le montrons en étudiant très soigneusement leurs propriétés pour des suites de nombres allant jusqu’à 12 10 nombres consécutifs de l’application couplée en anneau, ce qui fournit plus de 10 3.35 10 × nombres aléatoires en un temps très court. CONTENTS Introduction 2 1. Computation of chaotic numbers 2 1.1. Disappointing chaotic numbers 2 1.2. Long periodic orbits for ultra-weakly coupled tent map 3 1.2.1. System of 2-coupled symmetric tent map 3 1.2.2. System of p-coupled symmetric tent map 4 1.2.3. Approximated distribution function 5 2. The route from chaos to randomness via chaotic undersampling 7 2.1. Chaotic under-sampling 7 2.2. Chaotic mixing 8 2.3. Enhanced chaotic under-sampling 9 2.4. A window of emergence of randomness 10 3. Geometric undersampling 10 3.1. Ring coupled mapping 10 3.2. Low dimensional model 12 3.2.1. Critical lines 12 3.2.2. Markov partition 14 3.2.3. Exact computation of invariant measure associated to 2 M 16 3.3. Geometric undersampling 17 3.3.1. Algorithm of geometric undersampling 17 3.3.2. Numerical tests 20 4. Conclusion 1 Université de Nice Sophia-Antipolis, Laboratoire J. A. Dieudonné, UMR CNRS 7351, Parc Valrose, 06108 NICE, Cedex 02, France, email : [email protected] 2 L’UNAM, IRCCyN, UMR CNRS 6597, Ecole Centrale de Nantes, 1, rue de la Noë, BP 92101, 44321, NANTES Cedex 3, France, email : [email protected] Submitted for publication In Proceedings of European Conference on Iteration Theory (ECIT 2012), Ponta Delgada, Açores, Portugal, September 9-15, 2012. (to be published in European Series in Applied and Indsutrial Mathematics, ESAIM : Proceedings).